Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Дифференциальное и интегральное исчисление Общая схема исследования функций и построение их графиков Интегральное исчисление функции одной переменной


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Ряд Лорана. Пусть функция f(z) аналитична в кольце . Тогда для любой точки этого кольца ; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.7.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное: . Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора: (так как | z – z0| < | t – z0| , то ) , и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:

, где . Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на  

| t – z0| < | z – z0| :  . И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:

 , где . Переобозначим , тогда форма коэффициентов ряда для  совпадёт с формой коэффициентов ряда для LR:  поэтому окончательно для интеграла по  получим . Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть  - кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце , и точка   расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области ; , поэтому для любого n , и

.

 Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени z – z0), называется рядом Лорана функции f(z). Его часть, содержащая неотрицательные степени (), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге | z – z0| < R, главная - во внешности круга , поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце . Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.

 Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл там, где функция теряет аналитичность. Рассмотрим

.Решение задач на разложение функций в ряд Тейлора. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая (см. раздел 18.2.6.2). Рассмотрим, например, задачу 6 из этого раздела: разложить функцию  по степеням z - 7. Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию , затем почленно продифференцируем его: . Круг сходимости . На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности  ряд расходится. Далее, . Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми.

Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Определить вид кривой .

 Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами.

;


Вычисление криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги)