Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Дифференциальное и интегральное исчисление Общая схема исследования функций и построение их графиков Интегральное исчисление функции одной переменной


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде , . С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида , где f(z) - аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).

Примеры: 1. . Здесь f(z) = ez, z0 = 3 лежит внутри круга |z - 1| = 4, поэтому .

2. . Здесь внутри круга

L1 = { z| | z + 1| = 2} лежит точка z0 = 0, поэтому

f(z) = sin z/(z – 3) и .

3. . Здесь внутри круга

L2 = { z| | z - 2,5| = 1} лежит точка z0 = 3, поэтому f(z) = sin z/z и .

4. . Здесь внутри круга L3 = { z| |z| = 4} лежат обе точки  и , но, по следствию из 19.6.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области, .

5. . Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой  при : .

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов. Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция   непрерывна в области . Тогда, как это было показано в п. 7.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. Часть 1, (41.6)) было показано, что

,

где - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси , а ,  - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область  представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми и  и кривыми  и, причем функции и Рис.5

   непрерывны и таковы, что для всех  (см. рис. 5.) Такая область называется правильной в направлении оси : любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .


Вычисление криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги)