Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Дифференциальное и интегральное исчисление Общая схема исследования функций и построение их графиков Интегральное исчисление функции одной переменной


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Интегральная теорема Коши.

 Интеграл от ФКП.

19 Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция w = f(z). Разобьём кривую точками

z0 = A, z1, z2, …, zn = B на n частей, на каждой из дуг  выберем произвольную точку tk, найдём f(tk) и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек tk, называется интегралом от функции w = f(z) по кривой L и обозначается .

Теорема. Если функция w = f(z) непрерывна на кривой L, то она интегрируема по этой кривой. [an error occurred while processing this directive]

Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл:    тогда  , и сумма  разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно,  и . Если L - кусочно-гладкая кривая, w = f(z) - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции u(x, y) и v(x, y)), то существуют пределы этих сумм при  - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .

19.6.1.2. Свойства интеграла от ФКП. Мы доказали, что  выражается через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:

1.  - произвольные комплексные постоянные);

2.   - кривые без общих внутренних точек):

3.   - кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном направлении;

4. Если l - длина кривой L, , то .

Криволинейный интеграл II рода общего вида определяется равенством .

Криволинейный интеграл  по пространственной кривой L определяется аналогично. 

Терема 10.1. Если кривая AB гладкая, а функции P(x;y) и Q(x;y) непрерывные на кривой AB, то криволинейный интеграл II рода существует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.

1. При изменении направления пути интегрирования интеграл II Рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

(проекция дуги Mi-1Mi на оси Ox и Oy меняют знак с изменением направления).

2. Если кривая АВ с точкой С разбита на две части АС и СВ, то интеграл по все кривой равен сумме интегралов по частям, т.е.

.

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

  (все );

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

  (все ).

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Действительно, (см. рис. 6).

С другой стороны, . Таким образом,

.

а) Найти модуль и аргумент чисел = и =. Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

б) Найти: , , .

Задание 2. Вычислить значение функции  в точке , ответ представить в алгебраической форме комплексного числа:

а) , ;

б) , .


Вычисление криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги)