Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Дифференциальное и интегральное исчисление Общая схема исследования функций и построение их графиков Интегральное исчисление функции одной переменной


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Примеры вычисления производных.

 1. Выше мы доказали, что функция f(z) = z2 имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Найти площадь фигуры, ограниченную графиками функций и . Тройные и двойные интегралы при решении задач Так как

w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то . Тогда .

2. Для функции w = e z мы получили u(x, y) = e z cos y, v(x, y) = e z sin y. Поэтому , т.е. функция дифференцируема. .

 19.3.4. Геометрический смысл производной. Равенство  означает, что , где . Отсюда, в частности, следует, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. Будем писать , пренебрегая слагаемым высшего порядка малости. Пусть в точке z существует . Возьмём точки z и ; пусть w = f(z), тогда . таким образом,  в  больше ,  больше  на для любого  (с точностью до бесконечно малых высшего порядка). Следовательно, в окрестности любой точки z, в которой , отображение  действует следующим образом: любой вектор  растягивается в  раз и поворачивается на угол .

 19.3.5. Конформность дифференцируемого отображения.

 Пусть через точку z проходят две гладкие кривые L1 и L2, касательные l1 и l2 к которым образуют с осью Ох углы, соответственно,  и . Образы этих кривых  и  при дифференцируемом отображении  имеют касательные  и , образующие с действительной осью Ou углы  и . Согласно предыдущему пункту, , , т.е. . Таким образом, дифференцируемое отображение при   сохраняет углы между кривыми. Сохраняется и направление отсчёта углов (т.е. если  >, то >).

Любое преобразование плоскости в плоскость, обладающее эти свойством (т.е. свойством сохранения углов), называется конформным. Если при этом сохраняется направление отсчёта углов, то преобразование называется конформным преобразованием первого рода; если направление отсчёта углов меняется на противоположное, то преобразование называется конформным преобразованием второго рода. Мы доказали, что аналитическая в некоторой области G функция w = f(z) осуществляет конформное отображение первого рода во всех точках, в которых производная отлична от нуля.

Пример конформного отображения второго рода – недифференцируемая функция .

Интегральное исчисление функции одной переменной. При решении задач этой темы необходимо знать: 1. Определение и свойства неопределенного интеграла. 2. Таблицу основных интегралов. 3. Основные методы интегрирования. 4. Стандартные методы интегрирования наиболее часто встречающихся классов функций. 5. Определение, свойства и способы вычисления определенного интеграла. 6. Несобственные интегралы и их свойства. 7. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги)