Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы примеры Дифференциальное и интегральное исчисление Общая схема исследования функций и построение их графиков Интегральное исчисление функции одной переменной


Математика примеры решения заданий курсовой работы

Геометрическое изображнение ФКП. Задание функции w = f(z) как пары

u = u(x, y), v = v(x, y) наводит на мысль изображать ФКП как пару поверхностей u(x, y), v(x, y) в трёхмерном пространстве, однако этот способ неудобен, так как он не позволяет осмыслить пару (u, v) как комплексное число. Иногда изображают поверхность , которую называют рельефом функции w = f(z) . На эту поверхность наносят линии уровня функции Arg f(z) ; при наличии определенного опыта этой информации достаточно для того, чтобы составить представление об изменении функции в полярных координатах. Однако универсальный способ изображения ФКП состоит в том, что рисуют множества, соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении. Чаще всего берут координатные линии (декартовых или полярных координат) и находят их образы.

Примеры. 1. Линейная функция w = a z + b, где  - фиксированные комплексные числа,  a1, b1 - их действительные части, a2, b2 - их мнимые части.

Представим эту функцию в виде суперпозиции двух функций: w1 = az и w = w1 + b. Отображение , согласно интерпретации умножения чисел в тригонометрической форме, приводит к увеличению (уменьшению) аргумента числа z на arg a и растяжению (сжатию) его модуля в | a | раз; отображение  приводит к сдвигу точки : w1 на вектор : b(b1, b2). Таким образом, линейная функция w = a z + b растягивает (при ) каждый вектор z в | a | раз ( или сжимает его в  раз при | a | <1), поворачивает на угол arg a и сдвигает на вектор b. В результате все прямые преобразуются в прямые, окружности - в окружности. Ротор (вихрь) векторного поля Математика вычисление интеграла

2. Степенная функция w = z 2. Рассмотрим эту функцию в верхней полуплоскости

C + = {z | y = Im z >0}. В показательной форме w = z 2 = (|z | e i arg z)2 = |z | 2 e 2 i arg z. Следовательно, полуокружность  переходит в окружность с выколотой точкой ,

луч   - в луч . Вся верхняя полуплоскость С + перейдёт в плоскость W с выброшенной положительной полуосью. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Рассмотрим пример построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов Mx.

Представим это отображение в декартовых координатах. Так как

w = z2 = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2 ixy, то u(x, y) = x2 - y2, v(x, y) = 2 xy. Найдём образы координатных линий. Прямая y = y0 перейдёт в кривую, параметрические уравнения которой u = x2 – y02,

v = 2 xy0 (х - параметр). Исключая х, получим уравнение параболы . Луч  перейдёт в u = x02 – y2, 

v = 2 x0 y (параметр y>0). Исключая у, получим ветвь параболы .

Из v = 2 x0 y следует, что v сохраняет знак x0, поэтому это будет верхняя ветвь при x0 >0, и нижняя при x0 <0. Луч x0 = 0 перейдет в луч u < 0, v = 0.

Мы рассматриваем функцию w = z2 в верхней полуплоскости С +, несмотря на то, что она определена во всей плоскости С, по той причине, что она однолистна в этой полуплоскости. Нижняя полуплоскость C - = {z | y = Im z <0} при отображении w = z2 также накроет всю плоскость W (за исключением положительной полуоси). Если рассматривать весь образ плоскости С при этом отображении, то он будет состоять из двух экземпляров плоскости W (двух листов, накрывающих эту плоскость).

На этом примере мы получили алгоритм построения образов линий и областей при отображении w = f (z). Если w = u(x, y) + iv(x, y), то, чтобы найти уравнение образа линии L : F(x, y) = 0 при отображении, надо из системы уравнений   исключить переменные х и у; в результате будет получено уравнение  образа линии L в плоскости W. Чтобы найти образ области D, ограниченной замкнутой кривой L, надо найти образ этой линии, если образ - замкнутая линия, дальше надо определить, переходит ли D в область, ограниченную этой линией, или во внешность этой области.

Пример: пусть z1 = 1 + i, z2 = 2 + i, z3 = 1 + 2 i. Найти образ треугольника z1z2z3 при отображении w = z2.

Находим, куда отображаются вершины треугольника. w1 = z12 = (1 + i)2 = 1 + 2i- 1 = 2i; 

w2 = z22 = (2 + i)2 = 4 + 4i- 1 = 3 + 4i;

w3 = z32 = (1 + 2i)2 = 1 + 4i- 4 = -3 + 4i. Сторона z1z2 является частью прямой у= у0=1. Эта прямая отображается, как мы видели, в параболу . Нам нужна часть этой параболы между точками w1 и w2. Далее, сторона z1z3 является частью прямой х= х0=1, отображаемой в параболу ; берём участок этой параболы между точками w1 и w3. Сторона z 2 z3 лежит на прямой х+у=3; уравнение образа этой прямой получим, исключив из системы  переменные х и у: . Участок этой параболы между точками w2 и w3 и даст образ стороны z 2 z3. Изображение треугольника построено. Легко убедиться, что область, ограниченная этим треугольником, переходит во внутренность криволинейного треугольника w1w2w3 (для этого достаточно найти, например, образ одной точки этой области).

3. Более общая степенная функция w = z n, где n - натуральное число, действует аналогично функции w = z2. Так как w = z n = (|z | e i arg z) n = |z | n e i n arg z, то это отображение увеличивает в n раз все углы с вершиной в точке z = 0. Любые две точки z1 и z2 с одинаковыми модулями и аргументами, отличающимися на число, кратное  (и только они), переходят в одну точку w, т.е. "склеиваются" при отображении. Следовательно, отображение неоднолистно ни в какой области, содержащей такие точки. Пример области, в которой это отображение однолистно - сектор . Этот сектор преобразуется в область , т.е. в плоскость W с выброшенной положительной полуосью. Любая область, заключенная в секторе раствора меньше , однолистно отображается в W.

Интегральное исчисление функции одной переменной. При решении задач этой темы необходимо знать: 1. Определение и свойства неопределенного интеграла. 2. Таблицу основных интегралов. 3. Основные методы интегрирования. 4. Стандартные методы интегрирования наиболее часто встречающихся классов функций. 5. Определение, свойства и способы вычисления определенного интеграла. 6. Несобственные интегралы и их свойства. 7. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.
Вычисление криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги)