Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) и его решения

Определение обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) и его решения. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции

Геометрический смысл уравнения первого порядка. Уравнение (6) в каждой точке (x, y) области D, в которой задана функция f(x, y), определяет  - угловой коэффициент касательной к решению, проходящему через точку (x, y), т.е. направление, в котором проходит решение через эту точку. Говорят, что уравнение (6) задаёт в D поле направлений. График любого решения дифференциального уравнения (называемый также интегральной кривой) в любой своей точке касается этого поля, т.е. проходит в направлении, определяемом полем. Интегрирование дифференциального уравнения геометрически означает нахождение кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением поля. На рисунке справа изображено поле направлений, определяемое

Уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида  f(x) dx + g(y) dy = 0. (10)

Линия и плоскость в пространстве

Определить, сходится или расходится ряд . Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой.

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим  - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Уравнения с однородной правой частью. Так называются уравнениясо специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов

Линейные уравнения. ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная  входят в уравнение в первой степени:

Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y1-m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0).

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие .

Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x0, y0) плоскости для уравнения   выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая.

Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x. Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость  от y: . Старшие производные y по x вычисляются по правилу дифференцирования сложной функции:

Теория линейных уравнений.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, в которое неизвестная функция y(x) и её производные входят линейно, т.е. в первой степени:

Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a, b) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор Ln(y), который отображает функцию y(x), имеющую   производных, в функцию, имеющую k - n производных:

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций. Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения. Теорема о структуре общего решения решений линейного однородного дифференциального уравнения. В этом разделе мы докажем, что базисом линейного пространства частных решений однородного уравнения может служить любой набор из n его линейно независимых решений.

Формула Лиувилля.

Определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) решений однородного уравнения удовлетворяет уравнению , где p1(x) - коэффициент при n - 1 производной.

Восстановление линейного однородного уравнения по фундаментальной системе решений. Пусть дана система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с отличным от нуля на отрезке (a, b) вронскианом W(x). Требуется составить линейное однородное уравнение, у которого фундаментальная система решений состоит из функций y1(x), y2(x), …, yn(x).

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Теорема о наложении решений. Мы установили, что для того, чтобы решить линейное однородное уравнение, необходимо найти его фундаментальную систему решений. В этом разделе покажем, что решение неоднородного уравнения сводится к решению однородного, если удаётся найти частное решение этого неоднородного уравнения.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) решения неоднородного уравнения. Теперь мы знаем, как устроены общие решения и неоднородного линейного уравнения (умма его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения), и однородного линейного уравнения (линейная комбинация функций из фундаментальной системы решений). Остался вопрос: как найти фундаментальную систему решений и частное решение? Оказывается, в общем случае фундаментальную систему решений можно найти только для уравнений с постоянными коэффициентами (и уравнений, которые сводятся к уравнениям с постоянными коэффициентами). Такими уравнениями мы займёмся ниже, а в этом разделе рассмотрим метод вариации произвольных постоянных решения неоднородного уравнения. Принципиально то, что этот метод работает, если известна фундаментальная система решений линейного уравнения. Основную идею этого метода изложим для самого простого случая неоднородного уравнения второго порядка

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Выше неоднократно отмечалось, что в случае, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны (pi(x) = ai = const, i = 1, 2, …, n), удаётся найти фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим этот случай.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Пусть коэффициенты уравнения

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Метод вариации произвольных постоянных. Если коэффициенты уравнения постоянны, то, как следует из результатов предыдущего раздела, можно найти фундаментальную систему решений однородного уравнения, и, следовательно, применить метод вариации произвольных постоянных для решения неоднородного уравнения.

Технику работы с этим правилом будем осваивать, начиная с простейших случаев, при этом будем формулировать частные правила, вытекающие из общего.

Начертательная геометрия Машиностроительное черчение Моделирование Математика Физика